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By Antoine Chambert-Loir

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Soit a, b, a′ , b′ des éléments de A tels que a ∼ a′ et b ∼ b ′ ; alors (ab)−1 (a′ b ′ ) = b−1 a−1 a′ b ′ = (b−1 b′ )(b′ )−1 (a−1 a′ )b′ ; l’élément b −1 b ′ appartient à B par hypothèse, de même que l’élément a−1 a′ ; comme B est un sous-groupe distingué de A, on a donc (b ′ )−1 (a−1 a′ )b′ ∈ B ; par suite, (ab)−1 (a′ b′ ) appartient à B et ab ∼ a′ b ′ . Cela démontre (ii). L’implication (ii)⇒(iii) est évidente. Démontrons que (iii) implique (iv). Soit C le groupe quotient de A par la relation d’équivalence ∼ et soit c ∶ A → C l’homomorphisme de groupes canonique.

L’ensemble des éléments inversibles de ce monoïde est l’ensemble S(E) des bijections dans E dans E, qu’on appelle aussi permutations de E. C’est un groupe pour la composition des applications. Lorsque E est l’ensemble fini {1, . . , n}, le groupe S(E) est aussi noté Sn . 7. — Soit Q l’ensemble à 8 éléments, {1, −1, i, −i, j, − j, k, −k} (groupe quaternionique d’ordre 8). Il existe une unique loi de groupe sur Q, d’élément neutre 1, pour laquelle (−1)2 = 1, a(−1) = (−1)a = −a si a ∈ {i, j, k}, i 2 = j2 = k 2 = −1 et i j = k.

Son noyau est A× ∩ Z(A). 4). — Soit f ∶ A → B un morphisme de monoïdes (resp. de groupes) a) L’image f (A) est un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de B. b) Soit B′ un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de B ; l’image réciproque f −1 (B′ ) est un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de A. c) Soit g ∶ A → B un second morphisme de monoïdes (resp. de groupes). L’ensemble Ker( f , g) des a ∈ A tels que f (a) = g(a) est un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de A. Démonstration. — a) On a eB = f (eA ) ∈ f (A).

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Algèbre by Antoine Chambert-Loir

by Charles

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