Analysis

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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui believe connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce web site divers records pertinents au cours.

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La fonction f admet un extremum local (ou relatif) en x0 s’il existe r > 0 tel que sgn (f (x)−f (x0 )) est constant dans la boule B(x0 , r) — un maximum si ce signe reste n´egatif, un minimum s’il reste positif. Th´ eor` eme 14 Soient E ⊆ Rn un ensemble ouvert, x0 ∈ E un de ses points et f : E → R une fonction num´erique d´efinie sur E. Supposons que f admette des d´eriv´ees partielles dans E. Une condition n´ecessaire pour que f admette un extremum local en x0 est que gradf (x0 ) = 0. D´emonstration.

Exemple. Une fonction quadratique f (x) = xT Ax est partout d´erivable et f (x0 ) = 2 xT0 A pour tout x0 ∈ Rn . En effet, xT Ax − xT0 Ax0 − 2 xT0 A(x − x0 ) = xT A(x − x0 ) + xT0 A(x − x0 ) − 2 xT0 A(x − x0 ) = (x − x0 )T A(x − x0 ) de telle sorte que |xT Ax − xT0 Ax0 − 2 xT0 A(x − x0 )| ≤ A 33 x − x0 2 . Exemple. La fonction d´efinie par   2x1 x2 2 f (x1 , x2 ) = x1 + x2 0 si (x1 , x2 ) = (0, 0), sinon. n’est pas d´erivable `a l’origine puisqu’elle n’y est pas continue. Elle y admet n´eanmoins des d´eriv´ees partielles nulles : f (h, 0) − f (0, 0) f (0, h) − f (0, 0) = lim = 0.

X − x0 )α α! = α 1 =p+1 n D(j) (Dα f (x0 + t(x − x0 )))(xj − x0,j ) j=1 (p + 1)! α D f (x0 + t(x − x0 )) (x − x0 )α . α! D. En particulier, si f est de classe C (k) dans un voisinage de x0 , elle y admet un d´ eveloppement limit´ e : il existe r > 0 tel que f (x) = f (x0 ) + α 1

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Analyse 3 by Giroux A.


by Jason
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