Analysis

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By Otto Forster

ISBN-10: 3658023562

ISBN-13: 9783658023560

ISBN-10: 3658023570

ISBN-13: 9783658023577

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik im ersten Studienjahr dar und beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.
Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben. Die Neuauflage wurde durch einige neue Abbildungen mit erläuterndem textual content ergänzt. Das zugehörige Übungsbuch mit Lösungen unterstützt die Studierenden beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen).

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Deſnition. Sei A eine Teilmenge eines topologischen Raumes X . Unter einer ¨ offenen Uberdeckung von A versteht man eine Familie (Ui )i∈I von offenen Teilmengen Ui ⊂ X mit A⊂ [ Ui . i∈I Dabei ist I eine beliebige (endliche oder unendliche) Indexmenge. Deſnition. h. endlich viele Indizes i1 , . . , ik ∈ I existieren, so dass A ⊂ Ui1 ∪Ui2 ∪ . . ∪Uik . Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn X Hausdorffsch ist und jede ¨ offene Uberdeckung von X eine endliche Teil¨uberdeckung besitzt. Bemerkung.

2 Grenzwerte. Stetigkeit 21 ist genau dann in a stetig, wenn zu jedem H > 0 ein G > 0 existiert, so dass f (x), f (a) < H f¨ur alle x ∈ X mit x, a < G. (Dieser Satz verallgemeinert den analogen Satz aus An. ) Beweis. h. lim f (x) = f (a). x→a Annahme: Das H-G-Kriterium ist nicht erf¨ullt. Dann gibt es ein H > 0, so dass f¨ur jedes G > 0 ein x ∈ X existiert mit x, a < G aber f (x), f (a) H. 1 Insbesondere gibt es zu G = n ein xn ∈ X mit 1 f (xn ), f (a) H. xn , a < n und (∗) Also ist lim xn = a, woraus folgt lim f (xn ) = f (a).

Nach Satz 11 ist A < ˆ. Es gilt A · x A(x) Dies folgt daraus, dass A f¨ur alle x ∈ V. x x A f¨ur alle x = 0. Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen A : V → W bildet in nat¨urlicher Weise einen Vektorraum. 8), dass A → A die Axiome einer Norm erf¨ullt. 8) Beispiel. Sei speziell V = Rn und W = Rm . 1) und Satz 6 ist jede lineare Abbildung A : Rn → Rm stetig. Bez¨uglich der kanonischen Basen wird A durch eine m × n-Matrix (aik )1 i m,1 k n ∈ M(m × n, R) gegeben und man hat folgende Absch¨atzungen f¨ur die Norm von A √ A nm max |aik |.

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Kenneth
4.3

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